Narodil se v roce 1951 v Lounech a vystudoval obor překladatelství a tlumočnictví na FF UK V Praze. Působil jako tlumočník ve svobodném povolání, publikoval titulní rozhovory se slavnými osobnostmi v časopisu Mladý svět, vydal knížky s hudební tématikou, od r. 1983 spolupracoval s Československým rozhlasem a Československou televizí jako publicista a moderátor. V letech 1990 a 1991 moderoval každotýdenní Hovory z Lán s prezidentem Václavem Havlem; byl rovněž zvláštním zpravodajem tehdejšího Československého rozhlasu z oficiálních zahraničních cest hlavy státu. Od r. 1990 do r. 2000 spoluuváděl (s Otou Nutzem) rozhlasové talk show Káva u Kische; ve druhé polovině 90. let se stal ředitelem Mezinárodního televizního festivalu Zlatá Praha; byl šéfredaktorem Týdeníku Rozhlas, od r. 2002 šéfproducentem uměleckých pořadů a soutěží Českého rozhlasu a ředitelem stanice Český rozhlas 2 – Praha (2004 – 2010).
Od r. 1995 dosud uvádí významné koncerty, například několik crossover turné s Lucií Bílou, Evou Urbanovou, Karlem Gottem, Petrem Dvorským, Helenou Vondráčkovou a Štefanem Margitou anebo zahajovací a závěrečné večery Mezinárodního hudebního festivalu Český Krumlov. Moderuje též slavnostní události, například k výročí vzniku Československa v Rudolfinu nebo setkání prezidentů Visegrádské čtyřky či udělování Státních cen za literaturu a další umělecké obory. Pro Českou televizi uvádí přímé přenosy i záznamy, např. od r. 1994 nepřetržitě Novoroční koncerty Vídeňských filharmoniků z Vídně. Rádio Classic FM vysílá od roku 2011 každotýdenní cyklus pořadů pod názvem Planetární předplatné, který J. Vejvoda připravuje a moderuje. Do Týdeníku Rozhlas přispívá od r. 2010 seriálem Co vysílá svět o rozhlasových stanicích všech kontinentů. Také však rozhovory s hvězdami operního nebe jako Plácido Domingo, José Carreras či Elina Garanča.
V březnu 2014 byl zvolen Poslaneckou sněmovnou PČR členem Rady Českého rozhlasu. Do Rady ČRo jej navrhla Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, získal 105 hlasů od přítomných poslanců. V květnu 2014 se stal místopředsedou a tiskovým mluvčím Rady ČRo.